Question

（2010•天津模擬）如果實數x、y滿足

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

，目標函數z=kx+y的最大值為12，最小值3，那么實數k的值為

2

．

Answer 1

分析：先畫出可行域，得到角點坐標．再通過對斜率的分類討論得到最大最小值點，與原題相結合即可得到答案．

解答：解：可行域如圖，
得：A（1，4.4），B（5，2），C（1，1）．
又l₁：x-4y+3=0的斜率k₁=

1

4

；
l₂：3x+5y-25=0的斜率k₂=-

3

5

．
①當-k＜-

3

5

時，C為最小值點，B為最大值點；
有：5k+2=12，且k+1=3，
⇒k=2；
②當-k＞

1

4

時，C為最小值點，A為最大值點；
有：k+4.4=12，且k+1=3，
⇒k無解；
③當-

3

5

＜-k＜0時，C為最小值點，A為最大值點；
有：k+4.4=12，且k+1=3，
⇒k無解；
④當-k∈（0，

1

4

）時，C為最小值點，A為最大值點．
有：k+4.4=12，且k+1=3，
⇒k無解；
∴由①得k=2，其它情況的解都不符合要求．
故k=2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查簡單線性規劃以及分類討論思想．解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數賦予幾何意義．