四棱錐P—ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，側棱
，
，M、N兩點分別在側棱PB、PD上，
.
(1)求證：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．
（1）證明過程詳見解析；（2）
.
解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線面垂直、二面角等數學知識，考查學生用向量法解決立體幾何的能力，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力.第一問，連結AC、BD交于O，則在三角形APC中可知
，在三角形PBO中，利用三邊長，可知
，利用線面垂直的判定得
平面ABCD，所以建立空間直角坐標系，得到各個點的坐標，得到
和平面MNC的法向量
的坐標，可求出//
，所以
平面MNC；第二問，利用平面NPC的法向量垂直于
和
得到法向量的坐標，利用夾角公式得到夾角的余弦值.
試題解析：設菱形對角線交于點
，易知且
又
.由勾股定理知，
又
平面
3分
建立如圖空間直角坐標系，
，
，
，
， 
5分
⑴顯然，
，平面
的法向量
，由∥，知
平面
8分
⑵設面
的法向量為
由
取
，得
10分
所以平面與平面的夾角的余弦值為
. 12分
考點：1.向量法；2.夾角公式；3.線面垂直的判定.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如圖2。
（1）求證：BC⊥平面A1DC；
（2）若CD=2，求BE與平面A1BC所成角的正弦值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝
，AF＝1，M是線段EF的中點．
求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.
(1)當a=2時,求證:AO⊥平面BCD.
(2)當二面角A-BD-C的大小為120°時,求二面角A-BC-D的正切值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點．
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值為
，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
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底面
直角梯形，
∥
，
，
是棱
，
，
，
，
.
與
所成的角；
平面
.
中，
，
是棱
的中點．如圖所示．
平面
；
的大小．
，底面
是等腰梯形，
∥
，
是
平面
， 
是
中點．
平面
；
與平面
所成銳二面角的余弦值.
的底面ABCD是平行四邊形，
，
，
面
，設
為
中點，點
在線段
上且
．
平面
；
的大小為
，若
，求
的長．