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(理)已知直三棱柱中,,是棱的中點.如圖所示.
 
(1)求證:平面;
(2)求二面角的大。

(1)證明見解析;(2).

解析試題分析:(1)本題中由于是直棱柱,且底面中,即兩兩垂直,因此我們可以建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量來解決立體幾何問題,要證明線面垂直,只要在平面內(nèi)任取兩個不共線的向量如,只要計算出,,就能證明線線垂直,從而得證線面垂直;(2)而要求二面角的大小,可通過求兩個面的法向量的夾角來求,法向量的夾角與二面角互補(bǔ)或相等來求,下面就是想辦法求法向量了,如平面,可設(shè)是它的法向量,利用,得到,只要令,就可得到一個法向量.
試題解析:(1)按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.由題知,可得點、
、、、
于是,
可算得
因此,
,
所以,

(2)設(shè)是平面的法向量.

,
,可得即平面的一個法向量是
由(1)知,是平面的一個法向量,
的夾角為,則,
結(jié)合三棱柱可知,二面角是銳角,
∴所求二面角的大小是
考點:(1)線面垂直;(2)求二面角.

練習(xí)冊系列答案
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如圖,平面平面,四邊形為矩形,的中點,

(1)求證:
(2)若時,求二面角的余弦值.

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(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.

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(1)求證:
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(1)求證:AE⊥平面BCD;
(2)求二面角A–DC–B的余弦值.
(3)在線段上是否存在點使得平面?若存在,請指明點的位置;若不存在,請說明理由.

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如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是棱AB上的動點.

(1)求證:DA1ED1;
(2)若直線DA1與平面CED1成角為45o,求的值;
(3)寫出點E到直線D1C距離的最大值及此時點E的位置(結(jié)論不要求證明).

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四棱錐P—ABCD的底面是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,側(cè)棱,,M、N兩點分別在側(cè)棱PB、PD上,.

(1)求證:PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值.

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如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,計算:

(1)·.
(2)EG的長.
(3)異面直線EG與AC所成角的大小.

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