Question

【題目】已知，為兩非零有理數列（即對任意的，均為有理數），為一無理數列（即對任意的，為無理數）．

（1）已知，并且對任意的恒成立，試求的通項公式．

（2）若為有理數列，試證明：對任意的，恒成立的充要條件為．

（3）已知，，對任意的，恒成立，試計算．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題（1）直接運用題設中的條件解方程求解；（2）借助題設條件運用充分必要條件進行求解；（3）依據題設條件和三角函數的有關知識進行綜合求解

試題解析：（1）∵，∴，即

∴，∵，∴，∴．

（2）∵，∴，

∴，∴，

∵為有理數列，∴，∴，以上每一步可逆．

（3），

∴，∴或

∵，∴，

當時，∴

當時，∴

∴為有理數列，

∵，∴，

∴，∵為有理數列，為無理數列，

∴，∴，

∴

當時，∴

當時，∴，

∴