Question

（2012•洛陽一模）已知向量

m

=（cos²x，

3

），

n

=（2，sin2x），函數f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，f（C）=3，c=1，S_△ABC=

3

2

，且a＞b，求a，b．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積公式，結合二倍角、輔助角公式，化簡函數，結合三角函數的單調性，即可得到結論；
（2）先確定C，在利用余弦定理、三角形的面積公式，即可得到結論．

解答：解：（1）∵向量

m

=（cos²x，

3

），

n

=（2，sin2x），函數f（x）=

m

•

n

，
∴f（x）=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+1+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，則kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）f（C）=2sin（2C+

π

6

）+1=3，∴sin（2C+

π

6

）=1
∵C是△ABC的內角，
∴2C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

6

∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

∵S_△ABC=

3

2

，∴

1

2

absin

π

6

=

3

2

，∴ab=2

3

∵c=1，∴a2+

12

a2

=7
∴a²=3或a²=4
∵a＞b，
∴a=2，b=

3

．

點評：本題考查向量數量積公式、二倍角、輔助角公式，考查余弦定理、三角形面積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．