Question

【題目】在平面直角坐標系中,已知點和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.

（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）已知，是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足（為坐標原點），求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（Ⅰ）連結QF，由已知條件推導出|QP|＝|QF|，從而得到|QE|+|QF|＝PE＝2，由此推導出點Q的軌跡方程T是以E（﹣1，0）和F（1，0）為焦點的橢圓，進而能求出點Q的軌跡方程T．

（Ⅱ）設直線l的方程為y＝kx+m，把y＝kx+m代入橢圓，得（1+2k2）x2+4kx+2m2﹣2＝0，分m＝0和m≠0兩種情況進行討論，能求出實數λ的取值范圍．

解：（Ⅰ）如圖，連結QF，

∵點E（﹣1，0）和F（1，0），

圓E是以E為圓心，半徑為的圓，點P是圓E上任意一點，

線段FP的垂直平分線l和半徑EP所在的直線交于點Q，

∴|QP|＝|QF|，∴|QE|+|QF|＝PE＝2，

∴點Q的軌跡方程T是以E（﹣1，0）和F（1，0）為焦點的橢圓，

且2a＝2，a，c＝1，∴b＝1，

∴點Q的軌跡方程T：．

（Ⅱ）設經過點M、N的直線為l，由題意和l的斜率存在，

設直線l的方程為y＝kx+m，

把y＝kx+m代入橢圓，

整理，得（1+2k2）x2+4kx+2m2﹣2＝0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），

則，x1x2，

∴y1+y2＝k（x1+x2）+2m，

①當m＝0時，點M，N關于原點對稱，則λ＝0；

②當m≠0時，點M，N不關于原點對稱，則λ≠0，

∵，

∴x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，

∴，y0，

∵點P在上，

∴[]2+2[]2＝2，

化簡，得4m2（1+2k2）＝λ2（1+k2）2，

∵1+2k2≠0，∴4m2＝λ2（1+2k2），①

又∵△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）

＝8（1+2k2﹣m2）＞0，

∴1+2k2＞m2，②

聯立①②及m≠0，得λ2＜4，∴﹣2＜λ＜2，且λ≠0．

綜上所述，實數λ的取值范圍是（﹣2，2）．