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【題目】在平面直角坐標系中,已知點,是以為圓心,半徑為的圓,是圓上任意一點,線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.

1)當點在圓上運動時,求點的軌跡方程

2)已知是曲線上的兩點,若曲線上存在點,滿足為坐標原點),求實數的取值范圍.

【答案】1;(2.

【解析】

(Ⅰ)連結QF,由已知條件推導出|QP||QF|,從而得到|QE|+|QF|PE2,由此推導出點Q的軌跡方程T是以E(﹣10)和F10)為焦點的橢圓,進而能求出點Q的軌跡方程T

(Ⅱ)設直線l的方程為ykx+m,把ykx+m代入橢圓,得(1+2k2x2+4kx+2m220,分m0m0兩種情況進行討論,能求出實數λ的取值范圍.

解:(Ⅰ)如圖,連結QF

∵點E(﹣10)和F10),

E是以E為圓心,半徑為的圓,點P是圓E上任意一點,

線段FP的垂直平分線l和半徑EP所在的直線交于點Q

|QP||QF|,∴|QE|+|QF|PE2

∴點Q的軌跡方程T是以E(﹣10)和F10)為焦點的橢圓,

2a2ac1,∴b1

∴點Q的軌跡方程T

(Ⅱ)設經過點MN的直線為l,由題意和l的斜率存在,

設直線l的方程為ykx+m

ykx+m代入橢圓

整理,得(1+2k2x2+4kx+2m220

Mx1y1),Nx2y2),Px0y0),

x1x2

y1+y2kx1+x2+2m

m0時,點MN關于原點對稱,則λ0

m0時,點MN不關于原點對稱,則λ0

x1+x2λx0y1+y2λy0

y0

∵點P上,

[]2+2[]22

化簡,得4m21+2k2)=λ21+k22

1+2k20,∴4m2λ21+2k2),

又∵△=16k2m241+2k2)(2m22

81+2k2m2)>0

1+2k2m2

聯立①②m0,得λ24,∴﹣2λ2,且λ0

綜上所述,實數λ的取值范圍是(﹣22).

練習冊系列答案
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【題目】如圖,某野生保護區監測中心設置在點處,正西、正東、正北處有三個監測點,且,一名野生動物觀察員在保護區遇險,發出求救信號,三個監測點均收到求救信號,點接收到信號的時間比點接收到信號的時間早秒(注:信號每秒傳播千米).

1)以為原點,直線軸建立平面直角坐標系(如題),根據題設條件求觀察員所有可能出現的位置的軌跡方程;

2)若已知點與點接收到信號的時間相同,求觀察員遇險地點坐標,以及與檢測中心的距離;

3)若點監測點信號失靈,現立即以監測點為圓心進行圓形紅外掃描,為保證有救援希望,掃描半徑至少是多少公里?

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【題目】正整數數列的前項和為,前項積,若,則稱數列為“數列”.

(1)判斷下列數列是否是數列,并說明理由;①2248;②8244056

(2)若數列數列,且.

(3)是否存在等差數列是數列?請闡述理由.

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【題目】如圖,平面四邊形中,中點,,將沿對角線折起至,使平面平面,則四面體中,下列結論不正確的是( )

A. 平面

B. 異面直線所成的角為

C. 異面直線所成的角為

D. 直線與平面所成的角為

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知拋物線,過其焦點作斜率為1的直線交拋物線兩點,且線段的中點的縱坐標為4.

(1)求拋物線的標準方程;

(2)若不過原點且斜率存在的直線與拋物線相交于兩點,且.求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區各投入4萬元廣告費用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員失誤,橫軸的數據丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數的.

1)根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;

2)估計該公司投入4萬元廣告費用之后,對應銷售收益的平均值(以各組的區間中點值代表該組的取值);

3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數據,并整理得到下表:

廣告投入x(單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益y(單位:萬元)

1

3

4

7

表中的數據顯示,xy之間存在線性相關關系,請將(2)的結果填入上表的空白欄,并計算y關于x的回歸方程.

回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為.

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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓經過點.設橢圓的左頂點為,右焦點為,右準線與軸交于點,且為線段的中點.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)若過點的直線與橢圓相交于另一點軸上方),直線與橢圓相交于另一點,且直線垂直,求直線的斜率.

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【題目】某校針對校食堂飯菜質量開展問卷調查,提供滿意與不滿意兩種回答,調查結果如下表(單位:人):

學生

高一

高二

高三

滿意

500

600

900

不滿意

300

200

300

1)求從所有參與調查的人中任選1人是高三學生的概率;

2)從參與調查的高三學生中,用分層抽樣的方法抽取4人,在這4人中任意選取2人,求這兩人對校食堂飯菜質量都滿意的概率.

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【題目】(本小題滿分10分)如圖,已知四棱錐的底面是菱形,對角線交于點底面,設點滿足

1)當時,求直線與平面所成角的正弦值;

2)若二面角的大小為,求的值.

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