【題目】在平面直角坐標系中,已知點和
,圓
是以
為圓心,半徑為
的圓,點
是圓
上任意一點,線段
的垂直平分線
和半徑
所在的直線交于點
.
(1)當點在圓上運動時,求點
的軌跡方程
;
(2)已知,
是曲線
上的兩點,若曲線
上存在點
,滿足
(
為坐標原點),求實數
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(Ⅰ)連結QF,由已知條件推導出|QP|=|QF|,從而得到|QE|+|QF|=PE=2,由此推導出點Q的軌跡方程T是以E(﹣1,0)和F(1,0)為焦點的橢圓,進而能求出點Q的軌跡方程T.
(Ⅱ)設直線l的方程為y=kx+m,把y=kx+m代入橢圓,得(1+2k2)x2+4kx+2m2﹣2=0,分m=0和m≠0兩種情況進行討論,能求出實數λ的取值范圍.
解:(Ⅰ)如圖,連結QF,
∵點E(﹣1,0)和F(1,0),
圓E是以E為圓心,半徑為的圓,點P是圓E上任意一點,
線段FP的垂直平分線l和半徑EP所在的直線交于點Q,
∴|QP|=|QF|,∴|QE|+|QF|=PE=2,
∴點Q的軌跡方程T是以E(﹣1,0)和F(1,0)為焦點的橢圓,
且2a=2,a
,c=1,∴b=1,
∴點Q的軌跡方程T:.
(Ⅱ)設經過點M、N的直線為l,由題意和l的斜率存在,
設直線l的方程為y=kx+m,
把y=kx+m代入橢圓,
整理,得(1+2k2)x2+4kx+2m2﹣2=0,
設M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),
則,x1x2
,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,
①當m=0時,點M,N關于原點對稱,則λ=0;
②當m≠0時,點M,N不關于原點對稱,則λ≠0,
∵,
∴x1+x2=λx0,y1+y2=λy0,
∴,y0
,
∵點P在上,
∴[]2+2[
]2=2,
化簡,得4m2(1+2k2)=λ2(1+k2)2,
∵1+2k2≠0,∴4m2=λ2(1+2k2),①
又∵△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)
=8(1+2k2﹣m2)>0,
∴1+2k2>m2,②
聯立①②及m≠0,得λ2<4,∴﹣2<λ<2,且λ≠0.
綜上所述,實數λ的取值范圍是(﹣2,2).
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,某野生保護區監測中心設置在點處,正西、正東、正北處有三個監測點
,且
,一名野生動物觀察員在保護區遇險,發出求救信號,三個監測點均收到求救信號,
點接收到信號的時間比
點接收到信號的時間早
秒(注:信號每秒傳播
千米).
(1)以為原點,直線
為
軸建立平面直角坐標系(如題),根據題設條件求觀察員所有可能出現的位置的軌跡方程;
(2)若已知點與
點接收到信號的時間相同,求觀察員遇險地點坐標,以及與檢測中心
的距離;
(3)若點監測點信號失靈,現立即以監測點
為圓心進行“圓形”紅外掃描,為保證有救援希望,掃描半徑
至少是多少公里?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】正整數數列的前
項和為
,前
項積
,若
,則稱數列
為“
數列”.
(1)判斷下列數列是否是數列,并說明理由;①2,2,4,8;②8,24,40,56
(2)若數列是
數列,且
.求
和
;
(3)是否存在等差數列是數列?請闡述理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,平面四邊形中,
,
是
,
中點,
,
,
,將
沿對角線
折起至
,使平面
平面
,則四面體
中,下列結論不正確的是( )
A. 平面
B. 異面直線與
所成的角為
C. 異面直線與
所成的角為
D. 直線與平面
所成的角為
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:
,過其焦點
作斜率為1的直線交拋物線
于
,
兩點,且線段
的中點的縱坐標為4.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)若不過原點且斜率存在的直線
與拋物線
相交于
、
兩點,且
.求證:直線
過定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區各投入4萬元廣告費用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員失誤,橫軸的數據丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數的.
(1)根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;
(2)估計該公司投入4萬元廣告費用之后,對應銷售收益的平均值(以各組的區間中點值代表該組的取值);
(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數據,并整理得到下表:
廣告投入x(單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益y(單位:萬元) | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的數據顯示,x與y之間存在線性相關關系,請將(2)的結果填入上表的空白欄,并計算y關于x的回歸方程.
回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為,
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓
:
經過點
.設橢圓
的左頂點為
,右焦點為
,右準線與
軸交于點
,且
為線段
的中點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若過點的直線
與橢圓
相交于另一點
(
在
軸上方),直線
與橢圓
相交于另一點
,且直線
與
垂直,求直線
的斜率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校針對校食堂飯菜質量開展問卷調查,提供滿意與不滿意兩種回答,調查結果如下表(單位:人):
學生 | 高一 | 高二 | 高三 |
滿意 | 500 | 600 | 900 |
不滿意 | 300 | 200 | 300 |
(1)求從所有參與調查的人中任選1人是高三學生的概率;
(2)從參與調查的高三學生中,用分層抽樣的方法抽取4人,在這4人中任意選取2人,求這兩人對校食堂飯菜質量都滿意的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)如圖,已知四棱錐的底面是菱形,對角線
交于點
,
,
,
,
底面
,設點
滿足
.
(1)當時,求直線
與平面
所成角的正弦值;
(2)若二面角的大小為
,求
的值.
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