Question

【題目】如圖，某野生保護區監測中心設置在點處，正西、正東、正北處有三個監測點，且，一名野生動物觀察員在保護區遇險，發出求救信號，三個監測點均收到求救信號，點接收到信號的時間比點接收到信號的時間早秒（注：信號每秒傳播千米）.

（1）以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系（如題），根據題設條件求觀察員所有可能出現的位置的軌跡方程；

（2）若已知點與點接收到信號的時間相同，求觀察員遇險地點坐標，以及與檢測中心的距離；

（3）若點監測點信號失靈，現立即以監測點為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑至少是多少公里？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據題意，其軌跡滿足雙曲線的定義，故直接寫出方程即可；

（2）垂直平分線與雙曲線的交點，即為所求點；

（3）根據兩點之間的距離公式，將問題轉化為求二次函數的最小值即可.

（1）設觀察員可能出現的位置的所在點為

因為點接收到信號的時間比點接收到信號的時間早秒

故

故點的坐標滿足雙曲線的定義，設雙曲線方程為

由題可知，解得，

故點的軌跡方程為.

（2）因為，設的垂直平分線方程為

則，則的垂直平分線方程為

聯立可得，故

故觀察員遇險地點坐標為

與檢測中心的距離為.

（3）設軌跡上一點為，

則

又因為，可得

代入可得：

當且僅當時，取得最小值.

故掃描半徑至少是.