Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，S_n為其前n項和，且對任意r、t∈N^*，都有

Sr

St

=(

r

t

)2．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足b_n=

1

an+12-1

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）在

Sr

St

=(

r

t

)2中取r=n，t=1求得Sn=n2．然后求出當n≥2時的通項公式，已知n=1時成立后得到數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把數列{a_n}的通項公式代入b_n=

1

an+12-1

，然后利用裂項相消法數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由

Sr

St

=(

r

t

)2，得

Sn

S1

=n2，而a₁=1=S₁，∴Sn=n2．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
當n=1時該式成立，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）b_n=

1

an+12-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了裂項相消法求數列的和，是中檔題．