Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²-x+2，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，求函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$的最小值；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）-2ax≤0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本不等式即可求出函數(shù)的最小值，
（2）原不等式化為（x-2）（ax-1）≤0，再分類討論即可求出不等式的解集．

解答 解：（1）a=1時(shí)，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-1≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$-1=2$\sqrt{2}$-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
故函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$的最小值為2$\sqrt{2}$-1，
（2）f（x）-2ax≤0，
即ax²-x+2-2ax≤0，
即（x-2）（ax-1）≤0，
當(dāng)a=0時(shí)，解得x≥2，即解集為[2，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，解得x≤$\frac{1}{a}$或x≤2，即解集為（-∞，$\frac{1}{a}$]∪[2，+∞）
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，解得2≤x≤$\frac{1}{a}$，即解集為[2，$\frac{1}{a}$]
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，解得x=2，即解集為{2}
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，解得得$\frac{1}{a}$≤x≤2，即解集為[$\frac{1}{a}$，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用和含有參數(shù)的一元二次不等式的解法，屬于中檔題．