Question

已知函數f（x）=a^x-1（x≥0）的圖象經過點（3，

1

9

），其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；
（2）若kf²（x）-2f（x）≥-2恒成立，其中x∈（0，2]，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,指數函數的單調性與特殊點

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）運用代入法，再解方程，即可得到a；
（2）可用換元法，令t=（

1

3

）^x，不等式即為9kt²-6t+2≥0恒成立，t∈[

1

9

，1），即有9k≥

6t-2

t2

，對右邊配方，求出最大值即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=a^x-1（x≥0）的圖象經過點（3，

1

9

），
則a²=

1

9

，解得，a=

1

3

；
（2）f（x）=（

1

3

）^x-1，kf²（x）-2f（x）≥-2恒成立，
即為k•（

1

3

）^2x-2-2•（

1

3

）^x-1≥-2，
令t=（

1

3

）^x，由于x∈（0，2]，則t∈[

1

9

，1），
則9kt²-6t+2≥0恒成立，即有9k≥

6t-2

t2

=-2（

1

t

-

3

2

）²+

9

2

，
由于t∈[

1

9

，1），則

1

t

∈(1，9]，
則當

1

t

=

3

2

∈（1，9]，不等式右邊取得最大值

9

2

，
則9k≥

9

2

，則k≥

1

2

．
則k的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查指數函數的圖象和性質及運用，考查不等式恒成立問題轉化為求函數的最值，考查運算能力，屬于中檔題．