Question

已知命題“若f（x）=m²x²，g（x）=mx²-2m，則集合{x|f（x）＜g（x），

1

2

≤x≤1}=∅”是假命題，則實數m的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：依題意知，存在x∈[

1

2

，1]使得f（x）＜g（x），即（m²-m）x²+2m＜0在

1

2

≤x≤1上有解，構造函數h（x）=（m²-m）x²+2m，則

m2-m＞0 h( 1 2 )= m2+7m 4 ＜0

或

m2-m＜0 h(1)=m2+m＜0

，分別解之即可．

解答： 解：∵f（x）=m²x²，g（x）=mx²-2m，
又∵{x|f（x）＜g（x），

1

2

≤x≤1}=∅”是假命題，
∴存在x∈[

1

2

，1]使得f（x）＜g（x），即存在x∈[

1

2

，1]使得m²x²＜mx²-2m，
即（m²-m）x²+2m＜0在

1

2

≤x≤1上有解，
令h（x）=（m²-m）x²+2m，

m2-m＞0 h( 1 2 )= m2+7m 4 ＜0

或

m2-m＜0 h(1)=m2+m＜0

，解之可得-7＜m＜0
故答案為：（-7，0）．

點評：本題考查函數的性質及應用，分析得到（m²-m）x²+2m＜0在

1

2

≤x≤1上有解是關鍵，考查構造函數思想與轉化思想，屬于難題．