Question

【題目】橢圓的左、右焦點分別是，，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1．

(1)求橢圓的方程；

(2)點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，，設的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點，設直線，的斜率分別為，，若，證明為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)見解析，定值為．

【解析】

(1)將代入橢圓方程可得，從而可得，再結合及，即可求橢圓的方程；

(2)設，分別求出直線，的方程，利用角平分線的性質：角平分線上任一點到角兩邊的距離相等，列出關于方程，結合消去，將用表示，利用的有界性即可求出的范圍；

(3)將直線方程與橢圓的方程聯立，消去，得到關于的一元二次方程，因與橢圓有且只有一個公共點，故由，可求出，再利用斜率公式求出，即可求出定值．

(1)由于，將代入橢圓方程，得．

由題意知，即．

又，，所以，．

所以橢圓的方程為．

(2)設，又，，所以直線，的方程分別為

，．

由題意知．

由于點在橢圓上，所以．

所以．

因為，，可得，

所以，因此．

(3)設，則直線的方程為．

聯立得，

整理得．

由題意，即．

又，所以，故．

由(2)知，

所以，

因此為定值，這個定值為．