Question

已知

OA

=(2asin2x，a)，

OB

=(-1，2

3

sinxcosx+1)，O為坐標原點，a≠0，設f(x)=

OA

•

OB

+b，b＞a．
（I）若a＞0，寫出函數y=f（x）的單調遞增區間；
（II）若函數y=f（x）的定義域為[

π

2

，π]，值域為[2，5]，求實數a與b的值．

Answer 1

分析：（1）先根據三角函數的二倍角公式和兩角和與差的正弦公式將函數化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，將2x+

π

6

看做一個整體，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解出x的范圍即可得到答案．
（2）先根據x的范圍求出2x+

π

6

的范圍，對a分大于0和小于0兩種情況根據正弦函數的性質討論，即可得到答案．

解答：解：（I）f(x)=-2asin2x+2

3

asinxcosx+a+b=2asin(2x+

π

6

)+b
∵a＞0，∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得函數y=f（x）的單調遞增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（寫成[kπ+

2π

3

，kπ+

7π

6

](k∈Z)也可以）
（II）x∈[

π

2

，π]時，2x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]
當a＞0時，f（x）∈[-2a+b，a+b]∴

-2a+b=2 a+b=5

，得

a=1 b=4

，
當a＜0時，f（x）∈[a+b，-2a+b]∴

a+b=2 -2a+b=5

，得

a=-1 b=3

點評：本題主要考查三角函數的單調區間和值域的問題．一般先將函數化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，再根據正弦函數的圖象和性質解題．