Question

在△AOB中，已知

OA

=

a

，

OB

=

b

，

a

•

b

=|

a

-

b

|=2，當△AOB的面積最大時，求

a

與

b

的夾角θ．

Answer 1

分析：由條件可得|

a

|2+|

b

|2=8，cosθ=

2

| a || b |

，由此化簡△AOB的面積為

1

2

-(| a |2-4)2+12

，可得當|

a

|2=4時，S_△AOB最大．此時|

b

|2=4，cosθ=

2

2×2

=

1

2

，從而得到θ的值．

解答：解：設∠AOB=θ，∵

a

•

b

=2，|

a

-

b

|=2，∴|

a

|2+|

b

|2-2

a

•

b

=4，即 |

a

|2+|

b

|2=8…（8分）
又∵

a

•

b

=2，∴|

a

||

b

|cosθ=2，cosθ=

2

| a || b |

…（6分）
∴S△AOB=

1

2

|

a

||

b

|sinθ=

1

2

|

a

||

b

|

1-( 2 | a || b | )2

=

1

2

| a |2| b |2(1- 4 | a |2| b |2 )

=

1

2

| a |2| b |2-4

=

1

2

| a |2(8-| a |2)-4

=

1

2

-| a |4+8| a |2-4

 
=

1

2

-(| a |2-4)2+12

  …（10分）
∴當|

a

|2=4時，S_△AOB最大．此時|

b

|2=4，cosθ=

2

2×2

=

1

2

，
即有 θ=

π

3

…（12分）
因此，△AOB面積最大時，

a

與

b

的夾角為

π

3

…（13分）

點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，數量積公式的應用，向量在幾何中的應用，式子的變形是解題的關鍵．