Question

10．已知函數f（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-2，對于?m∈R，?n∈（0，+∞）使得f（m）=g（n）成立，則n-m的最大值為（　　）

• A． -ln2
• B． ln2
• C． 2$\sqrt{e}$-3
• D． e²-3

Answer 1

分析 不妨設f（m）=g（n）=a，從而可得n-m的表達式，（a＞0）由導數確定函數的單調性，再求最小值即可．

解答 解：不妨設f（m）=g（n）=a，
∴e^n-2=ln$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{2}$=a，
∴n-2=lna，m=2•${e}^{a-\frac{1}{2}}$，
故n-m=lna-2•${e}^{a-\frac{1}{2}}$+2，（a＞0）
令h（a）=lna-2•${e}^{a-\frac{1}{2}}$+2，
h′（a）=$\frac{1}{a}$-2•${e}^{a-\frac{1}{2}}$，
易知h′（a）在（0，+∞）上是減函數，
且h′（$\frac{1}{2}$）=0，
故h（a）在a=$\frac{1}{2}$處有最大值，
即n-m的最大值為ln2；
故選：B．

點評 本題考查了函數的性質應用及導數的綜合應用，屬于中檔題．