Question

9．若函數f（x）=lnx+ax²-2在區間（$\frac{1}{2}$，2）內存在單調遞增區間，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． （-$\frac{1}{8}$，+∞）
• C． （-2，-$\frac{1}{8}$）
• D． （-2，+∞）

Answer 1

分析 求出函數的導數，問題轉化為a＞${（-\frac{1}{{2x}^{2}}）}_{min}$，而g（x）=-$\frac{1}{{2x}^{2}}$在（$\frac{1}{2}$，2）遞增，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax，
若f（x）在區間（$\frac{1}{2}$，2）內存在單調遞增區間，
則f′（x）＞0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）有解，
故a＞${（-\frac{1}{{2x}^{2}}）}_{min}$，
而g（x）=-$\frac{1}{{2x}^{2}}$在（$\frac{1}{2}$，2）遞增，
g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=-2，
故a＞-2，
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道基礎題．