Question

19．若實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}5x+3y≤15\\ y≤x+1\\ x-5y≤3.\end{array}$
（1）求目標函數z=x+y的最大值；
（2）求目標函數z=$\sqrt{{x^2}+{y^2}+6x-6y+18}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義求解即可．
（2）轉化目標函數，利用幾何意義求解即可．

解答 解：實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}5x+3y≤15\\ y≤x+1\\ x-5y≤3.\end{array}$表示的可行域是ABC，其中A（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），B（-2，-1），C（3，0）
（1）當直線z=x+y經過A時，目標函數取得最大值：$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}$=4．
（2）目標函數z=$\sqrt{{x^2}+{y^2}+6x-6y+18}$=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-3）^{2}}$，它的幾何意義時可行域的點與（-3，3）的距離，
由圖形可知（-3，3）到x-y+1=0的距離最小，
可得z=$\frac{|-3-3+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵．