Question

已知函數f（x）=2^x-2^-x（x∈R），
（1）求證：函數f（x）是R上的增函數；
（2）若x滿足條件2 x2≤（

1

2

）^x-2，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）運用定義判斷f（x₁）-f（x₂）=（2 x1-2x2）（1+

1

2x1+x 2

）＜0，即可．
（2）解不等式得出-2≤x≤1，f（-2）=-

15

4

，f（1）=2-

1

2

=

3

2

，根據單調性求解即可．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=2^x-2^-x（x∈R），
∴設x₁＜x₂，0＜2 x1＜2 x2，f（x₁）-f（x₂）=（2 x1-2x2）（1+

1

2x1+x 2

）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）是R上的增函數；
（2）∵2 x2≤（

1

2

）^x-2，
∴2 x2≤2^2-x，
即x²≤2-x，
x²+x-2≤0，
-2≤x≤1，
∴f（x）=2^x-2^-x（-2≤x≤1），
f（-2）=-

15

4

，f（1）=2-

1

2

=

3

2

，
函數f（x）的值域：[-

15

4

，

3

2

]

點評：本題考查了運用定義法判斷函數的單調性，運用單調性求解函數的值域，屬于中檔題．