Question

12．已知數列{a_n}前n項和為S_n，a₁=-$\frac{2}{3}$，且S_n+$\frac{1}{Sn}$+2=a_n（n≥2）．
（1）計算S₁，S₂，S₃，S₄的值，猜想S_n的解析式；
（2）用數學歸納法證明所得的結論．

Answer 1

分析 （1）根據數列的遞推公式代值計算即可，并猜想其結論，
（2）利用數學歸納法進行證明．

解答 解：（1）S₁=a₁=-$\frac{2}{3}$，S₂+$\frac{1}{{S}_{2}}$+2=S₂-（-$\frac{2}{3}$），解得S₂=-$\frac{3}{4}$，
S₃+$\frac{1}{{S}_{3}}$+2=S₃-S₂⇒S₃=-$\frac{4}{5}$，S₄+$\frac{1}{{S}_{4}}$+2=S₄-S₃⇒S₄=-$\frac{5}{6}$．
猜想：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$（n∈N₊）．
（2）證：①當n=1時，左邊=S₁=a₁=-$\frac{2}{3}$，右邊=-$\frac{1+1}{1+2}$=-$\frac{2}{3}$．
∵左邊=右邊，
∴原等式成立．
②當n=k時，假設S_k=-$\frac{k+1}{k+2}$成立，
由S_k+1+$\frac{1}{Sk+1}$+2=S_k+1-S_k得$\frac{1}{Sk+1}$=-S_k-2=$\frac{k+1}{k+2}$-2=$\frac{k+1-2k-4}{k+2}$=$\frac{-k-3}{k+2}$=-$\frac{k+3}{k+2}$，
∴S_k+1=-$\frac{k+2}{k+3}$=-$\frac{（k+1）+1}{（k+1）+2}$，
∴當n=k+1時，原等式也成立．
綜合①②得對一切n∈N₊，S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$成立．

點評 本題考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數學歸納法的合理運用．