Question

已知矩陣M有特征值λ₁=8及對應的一個特征向量e₁=

1 1

，并有特征值λ₂=2及對應的一個特征向量e₂=

1 -2

，則矩陣M=

 

．

Answer 1

分析：設矩陣M=

a b c d

，則有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

，因為

1 0

是矩陣A的屬于λ₂=2的特征向量，則有

2-a-b -c1-d

1 -2

=

0 0

，由此能夠求出矩陣M

解答：解：設矩陣 M=

a b c d

，這里a，b，c，d∈R，
因為

1 1

是矩陣A的屬于λ₁=1的特征向量，則有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

①，
又因為

1 0

是矩陣A的屬于λ₂=2的特征向量，則有

2-a-b -c1-d

1 -2

=

0 0

②，
根據①②，則有

a=6 b=2 c=4 d=4

，
因此 M=

6 2 4 4

，（6分）
故答案為：

6 2 4 4

．

點評：本題考查矩陣的性質和應用、特征值與特征向量的計算，解題時要注意特征值與特征向量的計算公式的運用．