Question

[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣M=

1 c

b 2

有特征值λ₁=4及對應的一個特征向量

e1

=

2 3

，求曲線5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲線方程．

Answer 1

分析：由矩陣M=

1 b c 2

有特征值λ₁=4及對應的一個特征向量

e1

=

2 3

，可得

1 b c 2

2 3

=

8 12

，即2+3b=8，2c+6=12，解得b，c值后可得矩陣M；再設曲線上任一點P（x，y），P在M作用下對應點為P′（x′，y′），利用矩陣變換得出兩點坐標的關系式，代入曲線5x²+8xy+4y²=1后化簡可得曲線5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲線方程．

解答：解：由題意得

1 b c 2

2 3

=

8 12

，
即2+3b=8，2c+6=12，
解得b=2，c=3，
所以M=

1 2 3 3

．設曲線上任一點P（x，y），P在M作用下對應點P′（x′，y′），
則

x′ y′

=

1 2 3 2

x y

，即

x′=x+2y y′=3x+2y

，解之得

x= y′-x′ 2 y= 3x′-y/ 4

，
代入5x²+8xy+4y²=1，得x′²+y′²=2．
即曲線5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲線方程是x²+y²=2．…（10分）

點評：本題考查的知識點是特征值與特征向量的計算，熟練掌握矩陣的運算法則是解答的關鍵．