Question

已知直線l：cos²θ•x+cos2θ•y-1=0（θ∈R），圓C：x²+y²=1，
（Ⅰ） 求證：無論θ為何值，直線l恒過定點P；
（Ⅱ） 若直線l與圓C的一個公共點為A，過坐標原點O作PA的垂線，垂足為M，求點M的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：恒過定點的直線,直線的一般式方程與直線的垂直關系

專題：直線與圓

分析：（ I）直線l：cos²θ•x+cos2θ•y-1=0利用二倍角公式化為：cos²θ•x+（2cos²θ-1）•y-1=0，即（x+2y）cos²θ-（y+1）=0，令

x+2y=0 -y-1=0

，解得即可；
（ II）設直線l的方程為：y+1=k（x-2），由于直線l與圓C有公共點，可得

|1+2k|

1+k2

≤1，解得-

4

3

≤k≤0．當k=0時，可得x_M=0．k≠0時，直線OM的方程為：y=-

1

k

x，聯立解得x_M=

k+2k2

1+k2

=2+

k-2

1+k2

，令g（k）=

k-2

1+k2

，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： （ I）證明：直線l：cos²θ•x+cos2θ•y-1=0化為：cos²θ•x+（2cos²θ-1）•y-1=0，
∴（x+2y）cos²θ-（y+1）=0，
令

x+2y=0 -y-1=0

，解得

x=2 y=-1

，
∴無論θ為何值，直線l恒過定點P（2，-1）；
（ II）設直線l的方程為：y+1=k（x-2），
∵直線l與圓C有公共點，∴

|1+2k|

1+k2

≤1，解得-

4

3

≤k≤0．
當k=0時，可得x_M=0．
k≠0時，直線OM的方程為：y=-

1

k

x，
聯立

y+1=k(x-2) y=- 1 k x

，
解得x_M=

k+2k2

1+k2

=2+

k-2

1+k2

，
令g（k）=

k-2

1+k2

，g′（k）=

1+k2-2k(k-2)

(1+k2)2

=

-k2+4k+1

(1+k2)2

，
令g′（k）＞0，解得2-

5

＜k＜0，此時函數g（k）單調遞增；令g′（k）＜0，解得-

4

3

≤k＜2-

5

，此時函數g（k）單調遞減．
∴當k=2-

5

時，g（k）取得最小值，∴x_M的最小值為：2+

2- 5 -2

1+(2- 5 )2

=

2- 5

2

．
而g（0）=-2，g(-

4

3

)=-

6

5

．
∴x_M的最大值為2-

6

5

=

4

5

．
綜上可得點M的橫坐標的取值范圍為[

2- 5

2

，

4

5

]．

點評：本題考查了直線系的應用、倍角公式、利用導數研究函數的單調性極值與最值、斜率計算公式、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．