Question

已知

a

=(sinx，x)，

b

=(1，-cosx)，f(x)=

a

•

b

且x∈（0，2π），記f（x）在（0，2π）內零點為x₀．
（1）求當f（x）取得極大值時，

a

與

b

的夾角θ．
（2）求f（x）＞0的解集．
（3）求當函數

f′(x)

x2

取得最小值時f（x）的值，并指出向量

a

與

b

的位置關系．

Answer 1

分析：（1）由題設知f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），故f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，由此能求出當f（x）取得極大值時，

a

與

b

的夾角θ．
（2）由x=π是f（x）在（0，2π）內的極大值點，知f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．由此能求出f（x）＞0的解集．
（3）構造函數h(x)=

f ′(x)

x2

=

xsinx

x2

=

sinx

x

，則h′(x)=

xcosx-sinx

x2

=

-f(x)

x2

，由此能求出當函數

f′(x)

x2

取得最小值時f（x）的值和此時向量

a

與

b

的位置關系．

解答：（本題滿分14分）
解：（1）∵

a

=(sinx，x)，

b

=(1，-cosx)，f(x)=

a

•

b

且x∈（0，2π），
∴f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），
∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
由f′（x）=0，x∈（0，2π），得x=π，
∴x∈（0，π），f'（x）＞0，則f（x）單調遞增；
當x∈（π，2π），f'（x）＜0，則f（x）單調遞減．
∴x=π是f（x）在（0，2π）內的極大值點．…（4分）
此時

a

=（sinπ，π）=（0，π），

b

=（1，-cosπ）=（1，1）
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

0+π

π• 2

=

2

2

，
∵0≤θ≤π，∴θ=

π

4

．…（6分）
（2）由（1）知x=π是f（x）在（0，2π）內的極大值點．
且f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．
∴x∈（0，π）時，f（x）＞0，且f（π）•f（2π）＜0，
得x₀∈（π，2π），
∴x∈（0，x₀）時，f（x）＞0，即f（x）＞0的解集為（0，x₀）．…（9分）
（3）令h(x)=

f ′(x)

x2

=

xsinx

x2

=

sinx

x

，
∵h′(x)=

xcosx-sinx

x2

=

-f(x)

x2

，
∴h′（x）=0，得x=x₀，
∴x∈（0，x₀），f（x）＞0，得h′（x）＜0，則h（x）單調遞減，
當x∈（x₀，2π），f（x）＜0，得h′（x）＞0，則h（x）單調遞增，
∴x=x₀是h（x）在（0，2π）內的極小值，且h（x₀）為唯一極值，即為最小值，
此時f（x）=f（x₀）=0，即

a

•

b

=0，
∴

a

⊥

b

．

點評：本題考查向量夾角的大小的求法，考查不等式的解法，考查最小值的求法和向量位置關系的判斷，綜合性強，難度大，解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法的合理運用．