Question

已知

a

=(sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)，設函數f(x)=

a

•

b

（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（2）當x∈[-

π

6

，

5π

12

]時，求f（x）的最值并指出此時相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的數量積求出f（x）的表達式，利用倍角公式降冪后化積，得到y=Asin（ωx+Φ）+k的形式，則周期與單調區間可求；
（2）由x得范圍求出2x+

π

6

的范圍，結合正弦函數的值域得答案．

解答：解：（1）由知

a

=(sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)，
則f(x)=

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．
∴f（x）的最小正周期為π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ(k∈Z)，
∴f（x）的單調增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)；
（2）由（1）知f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
又當x∈[-

π

6

，

5π

12

]時，2x+

π

6

∈[-

π

6

，π]，
故當2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

時，y_min=0；
當2x+

π

6

=π時，即x=

π

6

時，ymax=

3

2

．

點評：本題考查了平面向量的數量積運算，考查了正弦函數的周期和單調區間的求法，考查了正弦函數的定義域及其值域，是基礎的運算題．