Question

已知

a

=(sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)，設函數f（x）=

a

•

b

（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（2）當x∈[-

π

6

，

5π

12

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）將函數化簡為單一函數，f（x）=

a

•

b

=（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，然后運用周期公式得到結論．
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，結合定義域求解得到x∈[-

π

6

，

5π

12

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，π]，根據函數圖象得到結論．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，∴f（x）的最小正周期為π．                   
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ得，-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，（k∈Z），解得 -

π

3

+kπ ≤ x ≤ 

π

6

+kπ，
故f（x）的單調增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）．  
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，又當 x∈[-

π

6

，

5π

12

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，π]，故 -

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
從而 f（x）的值域為[0，

3

2

]．

點評：本試題主要是考查了兩個向量的數量積公式，正弦函數的周期性、單調性、定義域和值域，屬于中檔題．