Question

（2012•蕪湖二模）已知

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)，函數f(x)=

a

•(

a

-

b

)，那么下列四個命題中正確命題的序號是

②③④

．
①f（x）是周期函數，其最小正周期為2π．
②當x=

π

8

時，f（x）有最小值2-

2

2

．
③[-

7

8

π，-

3

8

π]是函數f（x）的一個單調遞增區間；
④點（-

π

8

，2）是函數f（x）的一個對稱中心．

Answer 1

分析：先化簡函數，再一一驗證，①f（x）是周期函數，其最小正周期為π；
②當x=

π

8

時，2x+

π

4

=

π

2

，所以sin(2x+

π

4

)=1，可得f（x）有最小值2-

2

2

；
③x∈[-

7

8

π，-

3

8

π]時，2x+

π

4

∈[-

3π

2

，-

π

2

]，可得[-

7

8

π，-

3

8

π]是函數f（x）的一個單調遞增區間；
④利用（-

π

8

，0）是函數g（x）=sin(2x+

π

4

)的一個對稱中心，可得結論．

解答：解：由題意，f(x)=

a

2-

a

•

b

=sin2x+1-(sinxcosx-

1

2

)=2-

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=2-

2

2

sin(2x+

π

4

)，∴①f（x）是周期函數，其最小正周期為π，故①錯；
②當x=

π

8

時，2x+

π

4

=

π

2

，∴sin(2x+

π

4

)=1，∴f（x）有最小值2-

2

2

，故②正確；
③x∈[-

7

8

π，-

3

8

π]時，2x+

π

4

∈[-

3π

2

，-

π

2

]，∴[-

7

8

π，-

3

8

π]是函數f（x）的一個單調遞增區間，故③正確；
④∵（-

π

8

，0）是函數g（x）=sin(2x+

π

4

)的一個對稱中心，∴點（-

π

8

，2）是函數f（x）的一個對稱中心，故④正確
故答案為：②③④

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．