Question

4．在${（{\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}}）^8}$的展開式中．
（1）求二項式系數最大的項；
（2）求系數的絕對值最大的項；
（3）求系數最小的項．

Answer 1

分析 （1）利用二項式系數的性質、二項展開式的通項公式，求得二項式系數最大的項．
（2）由條件列出不等式組，求得r的范圍，可得結論．
（3）利用通項公公式求得系數最小的項．

解答 解：（1）在${（{\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}}）^8}$的展開式中，利用二項式系數的性質可得第五項的二項式系數最大，
該項為${T_5}=C_8^4{（{\sqrt{x}}）^4}•{（{-\frac{2}{x^2}}）^4}=\frac{1120}{x^6}$．
（2）設第r項的系數絕對值最大，即$\left\{\begin{array}{l}C_8^r•{2^r}≥C_8^{r-1}•{2^{r-1}}\\ C_8^r•{2^r}≥C_8^{r+1}•{2^{r+1}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{r}≥\frac{1}{9-r}\\ \frac{1}{8-r}≥\frac{2}{r+1}\end{array}\right.$，
從而5≤r≤6，故系數的絕對值最大的項是第6項和第7項.${T_6}=C_8^5{（{-2}）^5}{x^{-10}}{x^{\frac{3}{2}}}=-1792{x^{-\frac{17}{2}}}，{T_7}=C_8^6{（{-2}）^6}{x^{-12}}{x^{\frac{2}{2}}}=-1792{x^{-11}}$，
（3）系數最小的項為第6項：${T_6}=-1792{x^{-\frac{17}{2}}}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．