Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）當

a

∥

b

時，求cos²x-sin2x的值；
（2）設函數f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，且當x∈[0，

π

2

]時，|f（x）-m|≤2恒成立，求m取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）按照向量平行的性質，得到坐標的關系，求出tanx，然后利用二倍角公式以及基本關系式求之；
（2）利用向量的坐標運算得到f（x），然后化簡為一個角的三角函數形式，求f（x）的最值，關鍵恒成立問題求m的范圍．

解答： 解：（1）因為

a

∥

b

時，-sinx=

3

4

cosx，即tanx=-

3

4

，
cos²x-sin2x=

cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

1-2tanx

tan2x+1

=

1+ 3 2

9 16 +1

=

8

5

；
（2）f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2（sinx+cosx，-

1

4

）•（cosx，-1）=2sinxcosx+2cos²x+

1

2

=sin2x+cos2x+

3

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
∵x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，所以

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

∈[

1

2

，

2

+

3

2

]．
當x∈[0，

π

2

]時，|f（x）-m|≤2恒成立，即-2≤f（x）-m≤2，所以m-2≤f（x）≤m+2恒成立，
所以

m-2≤ 1 2 m+2≥ 2 + 3 2

，解得

2

-

1

2

≤m≤

5

2

．
所以m的取值范圍為：

2

-

1

2

≤m≤

5

2

．

點評：本題考查共線向量基本定理，向量相等時對應坐標的關系，二倍角的正弦公式、sin²x+cos²x=1以及三角函數式的化簡與最值求法，同時考查了恒成立問題的處理方法．