Question

已知a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．求證：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）．

Answer 1

【答案】分析：應用分析法證明．將待證式中的：“1”用a+b+c代換，再結合基本不等式進行放縮，最后利用不等式的基本性質即可．
解答：證明：∵a、b、c∈R⁺且a+b+c=1，
∴要證原不等式成立，
即證[（a+b+c）+a]•[（a+b+c）+b][（a+b+c）+c]≥8[（a+b+c）-a]•[（a+b+c）-b]•[（a+b+c）-c]．
也就是證[（a+b）+（c+a）][（a+b）+（b+c）]•[（c+a）+（b+c）]≥8（b+c）（c+a）（a+b）．①
∵（a+b）+（b+c）≥2＞0，
（b+c）+（c+a）≥2＞0，
（c+a）+（a+b）≥2＞0，
三式相乘得①式成立．
故原不等式得證．
點評：從求證的不等式出發，逐步分析尋求使這個不等式成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實，從而得出要證的不等式成立，這種執果所因的思考和證明方法叫做分析法．