Question

解下列關于x的不等式：
（1）4^x-2^x+1-3＞0；
（2）

2+m

x+1

＜m，（m∈R）．

Answer 1

分析：（1）原不等式分解因式可得（2^x+1）•（2^x-3）＞0，可得2^x＞3，解此指數不等式求得x的范圍，即為所求．
（2）原不等式等價轉化為

mx-2

x+1

＞0，即（x+1）•（mx-2）＞0，分m=0、m＞0、-2＜m＜0、m=-2、m＜-2五種情況分別求得x的范圍，即可求得所求不等式的解集．

解答：解：（1）原不等式分解因式可得（2^x+1）•（2^x-3）＞0，即2^x＞3，
∴x＞log₂3，故不等式的解集為 {x|x＞log₂3 }．
（2）原不等式移項，通分等價轉化為

mx-2

x+1

＞0，即（x+1）•（mx-2）＞0．
當m=0時，原不等式即為-2（x+1）＞0，可得x+1＜0，即x＜-1．
當m＞0時，原不等式即為(x+1)•(x-

2

m

)＞0，
∵

2

m

＞-1，∴原不等式的解為x＜-1，或x＞

2

m

．
當-2＜m＜0時，∵

2

m

＜-1，∴原不等式的解為

2

m

＜x＜-1．
當m=-2時，原不等式為（x+1）²＜0，∴原不等式無解．
當m＜-2時，∵

2

m

＞-1，∴原不等式的解為-1＜x＜

2

m

．
綜上可得，當m=0時，原不等式的解集為{x|x＜-1}； 當m＞0時，原不等式的解集為{x|x＜-1，或x＞

2

m

}；當-2＜m＜0時，原不等式的解集為 {x|

2

m

＜x＜-1 }；當m=-2時，原不等式的解集為∅； 當m＜-2時，原不等式的解為{x|-1＜x＜

2

m

}．

點評：本題主要考查指數不等式、一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．