Question

【題目】設F是橢圓的左焦點，過點F且斜率為正的直線與E相交于A、B兩點，過點A、B分別作直線AM和BN滿足AM⊥l，BN⊥l，且直線AM、BN分別與x軸相交于M和N.試求|MN|的最小值.

Answer 1

【答案】

【解析】

設，根據余弦定理，求得，再建立傾斜角和的函數關系，再利用三元不等式即可求得的最小值.

設過橢圓E左焦點F的直線l的傾斜角為，依題意知.

如圖所示，設F'為橢圓E的右焦點，Rt△MAF中，cos∠MFA=，

所以有.

在Rt△NBF中，同理有，所以有：

. ①

連結BF'，在△FBF'中，記|BF|=x，則|BF'|=.

由余弦定理知，

即.

所以有，即. ②

同理有 ③

由②③知.

由①知.

令，則.

根據均值不等式知.

所以，

等號成立當且僅當，即.

所以當且僅當時，.

從而當且僅當時，.