Question

【題目】已知函數，

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）存在正實數k使得函數有三個零點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）時增區間為；時，增區間為，減區間為； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先求出函數的定義域和導函數，分和討論導函數的符號，即可求得函數的單調區間；

（Ⅱ）由題易知，函數有三個零點等價于有三個解，即僅有三解，利用分離參數法求解即可.

（Ⅰ）（），

①當時，恒成立，則在上單調遞增；

②當時，得：.

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

綜上，時，的增區間為，

時，的增區間為，減區間為；

（Ⅱ）由題易知，

即有三個解，，

即僅有三解，

設，，

可得，即，

設，則，得，

時，，單調遞增，

時，，單調遞減（同時注意時，），

，

當時，恒成立，此時均符合條件，

當時，由兩個根不妨設為，且，

有兩根，不妨設為，則，，則，

容易分析出在，單調遞增，單調遞減，

則當時，

這里需要求和的取值范圍，

由上面分析可得，則，

，，

設，，，

易知在上單調遞增，

，則，∴，

同理，，

由上面分析在單調遞減，且時，，

∴. ∴，

綜上：.