Question

若

x-5

≠kx+2對一切x≥5都成立，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：分別作出不等式兩邊所對應的函數(shù)的圖象，由圖象可知k=0不滿足題意，k＜0時直線y=kx+2的斜率應小于過兩點（5，0）和（0，2）的直線的斜率，k＞0時聯(lián)立直線和拋物線方程，由判別式小于0得答案．

解答： 解：令y=

x-5

，得y²=x-5（y≥0），
∴函數(shù)y=

x-5

的圖象如圖，

又函數(shù)y=kx+2恒過定點（0，2），
k=0時顯然不滿足題意；
∴當k＜0時，要使

x-5

≠kx+2對一切x≥5都成立，則k＜-

2

5

；
當k＞0時，聯(lián)立

y2=x-5 y=kx+2

，得k²x²+（4k-1）x+9=0（x≥5）．
由△=（4k-1）²-36k²＜0，得k＜-

1

2

（舍），或k＞

1

10

．
綜上，實數(shù)k的取值范圍是，k＜-

2

5

或k＞

1

10

．
故答案為：k＜-

2

5

或k＞

1

10

．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．