Question

【題目】已知橢圓與軸負半軸交于，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點的直線與曲線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與直線相交于點，求的取值范圍及取得最小值時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的取值范圍是，最小值為，此時直線的方程為.

【解析】

（1）根據已知條件得出，再由離心率可得出的值，并求出的值，由此可得出所求橢圓的方程；

（2）由題意可知，直線與軸不重合，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式求出，并求出點的坐標，進而求得，由此可得出的表達式，利用導數求出的取值范圍，以及取最小值時對應的直線方程.

（1）由題有，，，.

因此，橢圓方程為；

（2）當直線與軸重合時，則直線的垂線與直線平行，不合乎題意.

設，將其與曲線的方程聯立，得.

即.

設、，則，，

，

將直線與聯立，得，

.

.

設，構造.

在上恒成立，所以在上單調遞增.

所以，當且僅當，即時等號成立，

所以的取值范圍是，

當取得最小值時，, 此時直線的方程為 .