Question

【題目】如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD中點，以AE為折痕把△ADE折起，使點D到達點P的位置（P平面ABCE）．

（1）證明：AE⊥PB；

（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接BD，設AE的中點為O，可證，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；

（2）證明OP⊥OB，建立空間坐標系，求出兩半平面的法向量，計算法向量的夾角得出二面角的大小．

（1）連接BD，設AE的中點為O，

∵AB∥CE，AB＝CECD，

∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝AD＝DE，

∴△ADE，△ABE為等邊三角形，

∴OD⊥AE，OB⊥AE，折疊后，

又OP∩OB＝O，

∴AE⊥平面POB，又PB平面POB，

∴AE⊥PB．

（2）在平面POB內作PQ⊥平面ABCE，垂足為Q，則Q在直線OB上，

∴直線PB與平面ABCE夾角為∠PBO，

又OP＝OB，∴OP⊥OB，

∴O、Q兩點重合，即PO⊥平面ABCE，

以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

則P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），

∴（，0，），（，，0），

設平面PCE的一個法向量為（x，y，z），則，即，

令x得（，﹣1，1），

又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）為平面PAE的一個法向量，

設二面角A﹣EP﹣C為α，則|cosα|＝|cos|，

由圖可知二面角A﹣EP﹣C為鈍角，所以cosα．