Question

20．已知二次函數f（x）滿足：f（0）=3；f（x+1）=f（x）+2x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）在[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，f（x）是二次函數，設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=3；f（x+1）=f（x）+2x．利用待定系數法求解出a，b，c的值即得函數的解析式．
（2）利用二次函數的性質，討論在[t，t+1]上的最小值．

解答 解：由題意，f（x）是二次函數，設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=3；可得：c=3，
∵f（x+1）=f（x）+2x．
∴a（x+1）²+b（x+1）+3=ax²+bx+3+2x．
化簡得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{2a+b=b+2}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-1．
∴函數f（x）的解析式為f（x）=x²-x+3．
（2）由（1）可得f（x）=x²-x+3．
對稱軸x=$\frac{1}{2}$．
當t+1$≤\frac{1}{2}$時，即t$≤-\frac{1}{2}$，函數f（x）在[t，t+1]上是單調遞減，
故得f（t+1）_min=t²+t+3．
當t＜$\frac{1}{2}$＜t+1時，即-$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{1}{2}$，函數f（x）在x=$\frac{1}{2}$取得最小值．
故得f（$\frac{1}{2}$）_min=$\frac{11}{4}$．
當t$≥\frac{1}{2}$時，函數f（x）在[t，t+1]上是單調遞增，
故得f（t）_min=t²-t+3．
綜上所得：當t$≤-\frac{1}{2}$，函數f（x）在[t，t+1]上的最小值為t²+t+3；
當-$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{1}{2}$，函數f（x）在[t，t+1]上的最小值為$\frac{11}{4}$；
當t$≥\frac{1}{2}$時，函數f（x）在[t，t+1]上是的最小值為t²-t+3．

點評 本題考查了二次函數解析式的求法，利用待定系數法．同時考查了二次函數最小值的討論，要抓住對稱軸．屬于中檔題．