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設f(x)=ax+b同時滿足條件f(0)=2和對任意x∈R都有f(x+1)=2f(x)-1成立.
(1)求f(x)的解析式;
(2)設函數g(x)的定義域為[-2,2],且在定義域內g(x)=f(x),且函數h(x)的圖象與g(x)的圖象關于直線y=x對稱,求h(x);
(3)求函數y=g(x)+h(x)的值域.
【答案】分析:(1)將x=0代入f(x)b的值;寫出恒成立的不等式,令a-2等于0,求出a的值.
(2)寫出g(x)的解析式;利用關于y=x對稱的函數互為反函數;求出g(x)的反函數即h(x).
(3)利用兩個增函數的和函數為增函數;利用函數的單調性求出函數的最值.
解答:解:(1)由f(0)=2,得b=1,
由f(x+1)=2f(x)-1,得ax(a-2)=0,
由ax>0得a=2,
所以f(x)=2x+1.
(2)由題意知,當x∈[-2,2]時,g(x)=f(x)=2x+1.
設點P(x,y)是函數h(x)的圖象上任意一點,它關于直線y=x對稱的點為P′(y,x),依題意點P′(y,x)應該在函數g(x)的圖象上,即x=2y+1,
所以y=log2(x-1),即h(x)=log2(x-1).
(3)由已知得y=log2(x-1)+2x+1,且兩個函數的公共定義域是[,2],
所以函數y=g(x)+h(x)=log2(x-1)+2x+1(x∈[,2]).
由于函數g(x)=2x+1與h(x)=log2(x-1)在區間[,2]上均為增函數,
因此當x=時,y=2-1,
當x=2時,y=5,
所以函數y=g(x)+h(x)(x∈[,2])的值域為[2-1,5].
點評:本題考查利用待定系數法求函數的解析式、考查關于直線y=x對稱的兩個函數互為反函數、反函數的求法、利用函數的單調性求函數的值域.
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