Question

11、設f（x）=a^x+b同時滿足條件f（0）=2和對任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）的定義域為[-2，2]，且在定義域內g（x）=f（x），且函數h（x）的圖象與g（x）的圖象關于直線y=x對稱，求h（x）；
（3）求函數y=g（x）+h（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）將x=0代入f（x）b的值；寫出恒成立的不等式，令a-2等于0，求出a的值．
（2）寫出g（x）的解析式；利用關于y=x對稱的函數互為反函數；求出g（x）的反函數即h（x）．
（3）利用兩個增函數的和函數為增函數；利用函數的單調性求出函數的最值．

解答：解：（1）由f（0）=2，得b=1，
由f（x+1）=2f（x）-1，得a^x（a-2）=0，
由a^x＞0得a=2，
所以f（x）=2^x+1．
（2）由題意知，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）=2^x+1．
設點P（x，y）是函數h（x）的圖象上任意一點，它關于直線y=x對稱的點為P′（y，x），依題意點P′（y，x）應該在函數g（x）的圖象上，即x=2^y+1，
所以y=log₂（x-1），即h（x）=log₂（x-1）．
（3）由已知得y=log₂（x-1）+2^x+1，且兩個函數的公共定義域是[，2]，
所以函數y=g（x）+h（x）=log₂（x-1）+2^x+1（x∈[，2]）．
由于函數g（x）=2^x+1與h（x）=log₂（x-1）在區間[，2]上均為增函數，
因此當x=時，y=2-1，
當x=2時，y=5，
所以函數y=g（x）+h（x）（x∈[，2]）的值域為[2-1，5]．

點評：本題考查利用待定系數法求函數的解析式、考查關于直線y=x對稱的兩個函數互為反函數、反函數的求法、利用函數的單調性求函數的值域．