Question

【題目】現代城市大多是棋盤式布局（如上海道路幾乎都是東西和南北走向）．在這樣的城市中，我們說的兩點間的距離往往不是指兩點間的直線距離（位移），而是實際路程（如圖）．在直角坐標平面內，我們定義A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）兩點間的“直角距離”為：D（AB）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

（1）在平面直角坐標系中，寫出所有滿足到原點的“直角距離”
為2的“格點”的坐標；（格點指橫、縱坐標均為整數的點）
（2）定義：“圓”是所有到定點“直角距離”為定值的點組成的圖形，點A（1，3），B（1，1），C（3，3），求經過這三個點確定的一個“圓”的方程，并畫出大致圖象；
（3）設P（x，y），集合B表示的是所有滿足D（PO）≤1的點P所組成的集合，
點集A={（x，y）|﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1}，
求集合Q={（x，y）|x=x1+x2 ， y=y1+y2 ， （x1 ， y1）∈A，（x2 ， y2）∈B}所表示的區域的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：0，2）、（1，1）、（2，0）、（1，﹣1）、（0，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（﹣2，0）、（﹣1，1）；
（2）解：設定點坐標為（a，b），定值為r，

則“圓”的方程為|x﹣a|+|y﹣b|=r．

則 ．

“圓”的方程為|x﹣2|+|y﹣2|=2．

作其圖象如下，

．

（3）解：B={（x，y）||x|+|y|≤1}，

∵ ，

∴ ，

∵（x2，y2）∈B，

∴|x2|+|y2|≤1，

即|x﹣x1|+|y﹣y1|≤1，

∵點集A表示以原點為中心，邊長為2的正方形及其內部，

∴點集Q表示以點A內的點為定點，1為定長的“圓”及其內部．

面積 ．

【解析】（1）由題意可得|x|+|y|=2，從而寫出格點即可；（2）設定點坐標為（a，b），定值為r，從而可得“圓”的方程為|x﹣a|+|y﹣b|=r，從而解得“圓”的方程為|x﹣2|+|y﹣2|=2，作其圖象即可；（3）由題意，B={（x，y）||x|+|y|≤1}，從而可得|x﹣x1|+|y﹣y1|≤1，從而可得點集Q表示以點A內的點為定點，1為定長的“圓”及其內部，從而求面積．