Question

16．已知△ABC中，G是重心，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且56a$\overrightarrow{GA}$+40b$\overrightarrow{GB}$+35c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，則∠B=60°．

Answer 1

分析 由G為三角形的重心，根據中線的性質及向量的加法法則分別表示出$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GC}$和$\overrightarrow{GB}$，代入化簡后的式子中，然后又根據$\overrightarrow{CA}$等于$\overrightarrow{CB}$加$\overrightarrow{BA}$，把上式進行化簡，最后得到關于$\overrightarrow{BA}$和$\overrightarrow{BC}$的關系式，由$\overrightarrow{BA}$和$\overrightarrow{BC}$為非零向量，得到兩向量前的系數等于0，列出關于a，b及c的方程組，不妨令c=56，即可求出a與b的值，然后根據余弦定理表示出cosB，把a，b，c的值代入即可求出cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可得到B的度數．

解答 解：因為由點G為三角形的重心，根據中線的性質及向量加法法則得：
3$\overrightarrow{GA}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}$，3$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{AB}$，3$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$，
代入上式得：56a（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}$）+40b（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$）+35（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{0}$，
又$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$，上式可化為：
56a（2$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{CB}$）+40b（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CB}$）+35c（-$\overrightarrow{BA}$+2$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{0}$，
即（112a-40b-35c）$\overrightarrow{BA}$+（-56a-40b+70c）$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$，
則有$\left\{\begin{array}{l}{112a-40b-35c=0}\\{-56a-40b+70c=0}\end{array}\right.$，
令c=56，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=35}\\{b=49}\end{array}\right.$，
所以cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3{5}^{2}+5{6}^{2}-4{9}^{2}}{2×35×56}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0°，180°），
∴B=60°．
故答案為：60°．

點評 本題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，掌握向量的加法法則及中線的性質，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯，屬于中檔題．