Question

【題目】如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直線，且， 且∥．

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn)，求證： 平面；

（Ⅱ）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值等于？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線與平面所成角的正弦值為，理由見解析．

【解析】試題分析：（1）由平面平面，及為矩形可知，所以平面，可以為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，從而利用向量得到,平面的方向向量，通過證明平面；（2）可求得平面的方向向量， 與平面的夾角和與的夾角互余，通過向量的運(yùn)算即可求得坐標(biāo).

試題解析：（1）證明：由已知，平面平面，且，則平面，所以兩兩垂直，故以為原點(diǎn)， 分別為軸軸, 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .

則，所以.

易知平面的一個法向量等于，所以，所以，

又平面，所以平面.

（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線與平面所成角的正弦值為.

理由如下：

因為，設(shè)平面的法向量為，

由，得，

即，得平面的一個法向量等于，

假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值等于.

設(shè)，

則.

所以

.

所以，解得或 (舍去)

因此，線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線與平面所成角的正弦值等于.