Question

【題目】如下圖，已知點(diǎn)是離心率為的橢圓： 上的一點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)互不重合．

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：直線， 的斜率之和為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為可得，把代入方程可得，又，解方程組即可求得方程；（2）設(shè)直線的方程為，整理方程組，求得， 及參數(shù)的范圍，由斜率公式表示出，結(jié)合直線方程和韋達(dá)定理整理即可得到定值.

試題解析：（1）由題意，可得，代入得，又，解得，

，

所以橢圓的方程為．

（2）證明：設(shè)直線的方程為，又， ， 三點(diǎn)不重合，∴，

設(shè)， ，

由得，

所以，解得，

，①

，②

設(shè)直線， 的斜率分別為， ，

則 （），

分別將①②式代入（），

得，

所以，即直線， 的斜率之和為定值．