Question

【題目】已知為坐標原點，直線的方程為，點是拋物線上到直線距離最小的點，點是拋物線上異于點的點，直線與直線交于點，過點與軸平行的直線與拋物線交于點.

（1）求點的坐標；

（2）求證：直線恒過定點；

（3）在（2）的條件下過向軸做垂線，垂足為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）此時點坐標為.（2）直線恒過定點.（3）4.

【解析】試題分析：(1)設點的坐標為，根據題意點是拋物線上到直線距離最小的點，代入點到直線的距離公式進行求解（2）設點的坐標為根據題意當求得，當時求得點的坐標為，給出直線方程，求恒過點坐標（3）轉化面積為然后計算即可求得結果

解析：（1）設點的坐標為，則

所以，點到直線的距離.

當且僅當時等號成立，此時點坐標為.

（2）設點的坐標為，顯然.

當， 點坐標為，直線的方程為；可得，直線；

當時，直線的方程為，

化簡得；

綜上，直線的方程為

與直線的方程聯立，可得點的縱坐標為

因為， 軸，所以點的坐標為.

因此， 點的坐標為

當，即時，直線的斜率.

所以直線的方程為，

整理得

當時，上式對任意恒成立，

此時，直線恒過定點，也在上，

當時，直線的方程為，仍過定點，

故符合題意的直線恒過定點.

（3）所以

設的方程為

則 ， ，