Question

若sinα+cosβ=

1

3

，cosα-sinβ=

1

2

，則tan

α+β

2

=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的和差化積公式

專題：三角函數的求值

分析：通過已知條件求出通過兩式的和與差，利用和差化積得到的表達式，相除即可得到tan

α+β

2

，求解即可．

解答： 解：sinα+cosβ=

1

3

①，
cosα-sinβ=

1

2

②，
①+②得 sinα-sinβ+cosα+cosβ=

5

6

，可得2cos

α+β

2

（sin

α-β

2

+cos

α-β

2

）=

5

6

．
①-②得sinα+sinβ-cosα+cosβ=-

1

6

，可得2sin

α+β

2

（sin

α-β

2

+cos

α-β

2

）=-

1

6

．
兩式相除可得
∴tan

α+β

2

=-

1

5

故答案為：-

1

5

．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，同角三角函數的基本關系式，考查計算能力，轉化思想的應用．