Question

f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（1）x=e是y=f（x）極值點，求a．
（2）求a范圍使得對任意x∈（0，3e]恒有f（x）≤4e²．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,綜合題,分類討論,導數的綜合應用

分析：（1）求出導數，令f′（e）=0，即可解得a；
（2）對x∈（0，3e]進行分區間討論，求出f（x）=（x-a）²lnx的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=（x-a）²lnx的導數為f′（x）=2（x-a）lnx+（x-a）²•

1

x

，
由于x=e是y=f（x）的極值點，則f′（e）=0，即有2（e-a）+

(e-a)2

e

=0，
解得，a=e或3e，
經檢驗，a=e或a=3e符合題意，
所以a=e，或a=3e；
（2）①當0＜x≤1時，對于任意的實數a，恒有f（x）≤0＜4e²成立，
②當1＜x≤3e時，由題意，首先有f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²，
解得3e-

2e

ln(3e)

≤a≤3e+

2e

ln(3e)

，
設f（x）=（x-a）²lnx，
則f′（x）=2（x-a）lnx+（x-a）²•

1

x

=（x-a）（2lnx+1-

a

x

），
令h（x）=2lnx+1-

a

x

，
則h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-

a

3e

≥2ln3e+1-

3e+ 2e ln(3e)

3e

=2（ln3e-

1

3 ln(3e)

）＞0，
又h（x）在（0，+∞）內單調遞增，
∴函數h（x）在（0，+∞）內有唯一零點，記此零點為x₀
則1＜x₀＜3e，1＜x₀＜a，
從而當x∈（0，x₀）時，f′（x）＞0，
當x∈（x₀，a）時，f′（x）＜0，
當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x₀）內是增函數，
在（x₀，a）內是減函數，在（a，+∞）內是增函數
∴要使得對任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立，
只要有：

f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2 f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2

，
有h（x₀）=2lnx₀+1-

a

x0

=0，得a=2x₀lnx₀+x₀，
將它代入f（x₀）=（x₀-a）2lnx₀≤4e²得4x₀²ln³x₀≤4e²
又x₀＞1，注意到函數4x²ln³x在（1，+∞）上是增函數，故1＜x₀≤e，
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函數2xlnx+x在（1，+∞）上是增函數，可得1＜a≤3e，
由f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²解得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e+

2e

ln3e

，
∴得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e，
綜上，a的取值范圍為3e-

2e

ln3e

≤a≤3e．

點評：本題考查函數的極值的概念，導數運算法則，導數應用，不等式等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等分析問題和解決問題的能力，解題的關鍵是準確求出導數，利用二次求導和函數零點分區間討論導函數的符號，得到原函數的單調性，本題屬于難題．