Question

已知圓O′：（x+2）²+y²=8及點A（2，0），在圓O′上任取一點B，連結AB并作AB的中垂線l，設l與直線O′B交于點P，若B取遍圓O′上的點，則點P的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設B（x₀，y₀），利用中點坐標公式、斜率計算公式可得線段AB的垂直平分線的斜率k=-

x0-2

y0

．線段AB的垂直平分線的方程為：y-

y0

2

=-

x0-2

y0

(x-

x0+2

2

)，直線O′B的方程為：y=

y0

x0+2

(x+2)，又(x0+2)2+

y

2 0

=8．聯立消去x₀，y₀即可得出．

解答： 解：設B（x₀，y₀），線段AB的中點M(

x0+2

2

，

y0

2

)，k_AB=

y0

x0-2

，
則線段AB的垂直平分線的斜率k=-

x0-2

y0

．
∴線段AB的垂直平分線的方程為：y-

y0

2

=-

x0-2

y0

(x-

x0+2

2

)，
直線O′B的方程為：y=

y0

x0+2

(x+2)，
又(x0+2)2+

y

2 0

=8．
聯立可得：x²-y²=2．
故答案為：x²-y²=2．

點評：本題考查了圓的標準方程、中點坐標公式、線段的垂直平分線的方程、雙曲線的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．