Question

4．在封閉的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁內有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA₁=5，則V的最大值是（　　）

• A． 4π
• B． $\frac{9π}{2}$
• C． $\frac{125π}{6}$
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 先保證截面圓與△ABC內切，記圓O的半徑為r，由等面積法得（AC+AB+BC）r=6×8，解得r=2．由于三棱柱高為5，此時可以保證球在三棱柱內部，球的最大半徑為2，由此能求出結果．

解答 解：如圖，由題知，球的體積要盡可能大時，球需與三棱柱內切．
先保證截面圓與△ABC內切，記圓O的半徑為r，
則由等面積法得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC\;•\;r+\frac{1}{2}AB\;•\;r+\frac{1}{2}BC\;•\;r=\frac{1}{2}×6×8$，
所以（AC+AB+BC）r=6×8，又AB=6，BC=8，
所以AC=10，所以r=2．由于三棱柱高為5，此時可以保證球在三棱柱內部，
若r增大，則無法保證球在三棱柱內，
故球的最大半徑為2，所以$V=\frac{32π}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查球的最大體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．