Question

已知向量

OA

，

OB

滿足|

OA

|=|

OB

|=1，

OA

•

OB

=0，

OC

=λ

OA

+μ

OB

 （λ，μ∈R），若M為AB的中點，并且|

MC

|=1，則點（λ，μ）在以

(

1

2

，

1

2

)

為圓心，

1

為半徑的圓上．

Answer 1

分析：利用數量積的定義以及向量的基本運算建立λ，μ的方程即可．

解答：解：∵向量

OA

，

OB

滿足|

OA

|=|

OB

|=1，

OA

•

OB

=0，
∴將A，B放入平面坐標系中，令A（1，0），B（0，1），
∵M為AB的中點，∴M（

1

2

，

1

2

），
∵

OC

=λ

OA

+μ

OB

 （λ，μ∈R），
∴

OC

=λ

OA

+μ

OB

=λ（1，0）+μ（0，1）=（λ，μ），
即C（λ，μ），
∴

MC

=(λ-

1

2

，μ-

1

2

)，
∵|

MC

|=1，
∴(λ-

1

2

)2+(μ-

1

2

)2=1，
即點（λ，μ）在以(

1

2

，

1

2

) 為圓心，1為半徑的圓上．
故答案為：(

1

2

，

1

2

)，1．

點評：本題主要考查數量積的應用，利用條件將點A，B用坐標表示是解決本題的關鍵．