Question

已知函數f（x）=sinx+acosx的圖象經過點（

π

3

，0）
（1）求實數a的值；
（2）設g（x）=[f（x）]²-2，求當x∈（

π

4

，

2π

3

）時，函數g（x）的值域；
（3）若g（

a

2

）=-

3

4

（

π

6

＜a＜

2π

3

），求cos（α+

3π

2

）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）把點（

π

3

，0）代入解析式，求出a的值；
（2）先利用兩角差的正弦公式化簡f（x），代入g（x）利用二倍角公式化簡，由x的范圍求出2x-

2π

3

的范圍，利用余弦函數的性質求出g（x）的值域；
（3）代入解析式化簡g（

a

2

）=-

3

4

，由α的范圍和平方關系求出sin(α-

2π

3

)的值，利用兩角和的正弦公式求出sinα的值，利用誘導公式化簡cos（α+

3π

2

）后即可求值．

解答： 解：（1）因為函數f（x）=sinx+acosx的圖象經過點（

π

3

，0），
所以sin

π

3

+acos

π

3

=0，解得a=-

3

；
（2）由（1）可得，f（x）=sinx-

3

cosx=2sin(x-

π

3

)，
所以g（x）=[f（x）]²-2=4sin2(x-

π

3

)-2
=4×

1-cos(2x- 2π 3 )

2

-2=-2cos(2x-

2π

3

)，
由x∈（

π

4

，

2π

3

）得，2x-

2π

3

∈（-

π

6

，

2π

3

），
則-

1

2

＜cos(2x-

2π

3

)≤1，所以-2≤-2cos(2x-

2π

3

)＜1，
則函數g（x）的值域：[-2，1）；
（3）因為g（

a

2

）=-

3

4

，所以-2cos(α-

2π

3

)=-

3

4

，即cos(α-

2π

3

)=

3

8

，
因為

π

6

＜a＜

2π

3

，所以-

π

2

＜α-

2π

3

＜0，
則sin(α-

2π

3

)=-

1-cos2(α- 2π 3 )

=-

61

8

，
所以sinα=sin[（α-

2π

3

）+

2π

3

]=sin（α-

2π

3

）cos

2π

3

+cos（α-

2π

3

）sin

2π

3

=-

61

8

×（-

1

2

）+

3

8

×

3

2

=

3+ 61

16

，
則cos（α+

3π

2

）=sinα=

3+ 61

16

．

點評：本題考查三角恒等變換的公式，平方關系、三角函數值的符號的應用，以及余弦函數的性質，注意角之間的關系和角的范圍，屬于中檔題．