Question

設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,對數的運算性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：要求log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄，需求x₁•x₂•…•x₂₀₁₄的值，只須求出切線與x軸的交點的橫坐標即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答： 解：對y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求導，得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在點（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點
（1，1）處的切線方程為y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨設y=0，xn=

n

n+1

，
則x₁•x₂•x₃…•x_n=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n

n+1

=

1

n+1

，
從而log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄
=log₂₀₁₅（x₁•x₂…x₂₀₁₄）
=log2015

1

2015

=-1．
故答案為：-1．

點評：本題主要考查直線的斜率、利用導數研究曲線上某點切線方程、數列等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．